Как составлен «вечный календарь»?

Под «вечным календарем» обычно подразумевают таблицы (или построенные на их основе приспособления) , с помощью которых удается достаточно быстро установить, какой день недели приходится на ту или другую календарную дату. В свое время эта задача и была решена на основе перечисленных выше календарных циклов. Состоит она как бы из двух измерений. «По горизонтали» необходимо установить соответствие дней недели числам месяцев на протяжении определенного календарного года. «По вертикали» следует находить изменения в упомянутом распределении при переходе от года к году, от века к веку.

Построение «вечного календаря» осуществляется двумя путями: с помощью вруцелетных (по западноевропейской традиции — календарных) букв и путем использования месячных коэффициентов.

С помощью вруцелет. Выше уже отмечалось, что семь вруцелетных (календарных) букв как бы «навечно» расписаны в циклической последовательности по числам календарных месяцев. Поэтому, если только найден день недели, приходящийся хотя бы на одну календарную дату заданного года, т. е. если хотя бы одна вруцелетная буква сопоставлена с днем недели, то тем самым, в соответствии с табл., становится известной смена дней недели для всего года.

Для юлианского календаря смена вруцелет на протяжении 28-летнего солнечного цикла приведена в табл. 7 (соответственно западноевропейских воскресных букв — в табл.), а их значение для каждого конкретного года константинопольской и нашей эры — в табл. Составить первую было нетрудно. При рассмотрении второй следует вспомнить, что в 100 юлианских годах насчитывается 36 525 дней или 5217 недель и 6 дней. Следовательно, в каждом последующем веке, скажем 1 марта, а в общем все числа месяца, приходятся на один день раньше, чем в соответствующем году предыдущего века. В свою очередь 700 юлианских лет — это 255 675 дней или 36 525 недель или же 25 полных 28-летних циклов. Отсюда следует, что распределение вруцелет по датам юлианского календаря через каждые 700 лет полностью повторяется. Расписав же вруцелета внутри одного века, нетрудно составить такую же таблицу и для всех остальных: при увеличении числа веков на единицу необходимо в ряду вруцелетных букв сдвинуться на одну позицию влево, осуществляя также циклический переход от 7-й, верхней, строки табл. к 1-й, нижней.

После того как табл. была составлена (а это произошло много сотен лет назад), оставалось сделать завершающий шаг — совместить с ней др. табл. Точнее, исходя из одн. табл., необходимо было взять распределение дней недели по числам месяцев, соответствующее тому или другому вруцелету, и присоединить его к др. табл. Конечно, над составлением такого вечного календаря потрудилось несколько поколений вычислителей, но результат, как видим, получился неплохим. К тому же неугомонные изобретатели обнаружили, что вместо вруцелетных букв можно использовать те же дни недели, а это сделало таблицу еще компактнее. Таблица в равной мере используется и для определения дня недели по датам григорианского календаря. Поэтому здесь уместно напомнить, что 400 лет этого календаря содержат 146 097 суток, т. е. ровно 20 871 неделю. В итоге цикл вруцелет, а следовательно, и расписание дней недели по числам месяцев в этом календаре повторяются через 400 лет. В этом промежутке времени в каждом из трех веков содержится по 5217 недель и 5 дней, в четвертом — 5217 недель и 6 дней. А это значит, что после века, закончившегося високосным годом (1600, 2000 гг.), и двух следующих после него в ряду вруцелетных букв происходит перемещение на две позиции назад. И лишь благодаря включению 366-го дня в конце февраля очередного високосного столетнего года (а смена вруцелет происходит с 1 марта) перемещение вруцелет для этого векового года осуществляется на одну позицию влево.

Кстати, из-за такого «поведения» вруцелет 1 января 1 года нового века в григорианском календаре приходится лишь на один из четырех дней недели: на понедельник (1601, 2001 гг.), субботу (1701, 2101 г.), четверг (1801, 2201 гг.) и вторник (1501, 1901 гг.).

На основе месячных коэффициентов. Выше уже были изложены основные принципы построения «вечного календаря» с помощью месячных коэффициентов, являющихся суммой солнечной эпакты для соответствующего года и регуляров — установленного на начало каждого месяца сдвига дней недели, накапливающегося от месяца к месяцу на протяжении года. Еще раз напомним, что решением Международного бюро стандартов (резолюция № 2014) первым днем недели принято считать понедельник, поэтому дни имеют соответствующее численное обозначение: пн — 1, вт — 2, ср — 3, чт — 4, пт — 5, сб — 6, вс — 7.

Как уже отмечалось, начала и византийского и западноевропейского солнечных 28-летних циклов смещены относительно эпохи н. э. Это, конечно, не создает затруднений при расчете месячных коэффициентов «вечного календаря», однако гораздо привычнее вести счет годам по столетиям, тем более, что формулы легко переписываются в виде, полностью пригодном для счета лет начиная с 1 г. н. э.

Прежде всего, так как вставка 366-го дня производится в начале 4-го, 8-го и т. д. годов, то формула для расчета сдвига дней недели от года к году запишется в том же виде. Однако вместо номера года в 28-летнем цикле Q следует использовать порядковый номер года н. э. R. Исключая из этого числа множители, кратные 7, нетрудно вместо получить следующее выражение:

Здесь Г — порядковый номер года в текущем веке, С — число полных прошедших веков. Если Е примет отрицательное значение, его необходимо заменить дополнением до модуля 7 (например, вместо —5 принять +2 и т. д.).

Очевидно, что для каждого конкретного года месячные коэффициенты К имеют вполне определенное значение. Иначе говоря, сумма ES + RS остается постоянной независимо от выбора начала счета годов. Но если начало отсчета сдвинуто по сравнению с традиционным, например византийским, то соответственно следует пересчитать и величины регуляров — сдвигов от месяца к месяцу дней недели, приходящихся на 1-е число. Нетрудно убедиться, что при счете лет в и. э. эти сдвиги (обозначим их через Mi, i= 1, 2, ... 12), можно записать в виде таблички

Январь 4 (3)	Апрель	3	Июль 3	Октябрь	4
Февраль 0 (6)	Май	5	Август 6	Ноябрь	0
Март 2	Июнь	1	Сентябрь 2	Декабрь	2

В скобках указаны их соответствующие значения для високосного года.