Лунный календарь
При рассмотрении теории лунного календаря продолжительность синодического месяца с достаточной степенью точности можно принять равной 29,53059 суток. Очевидно, что соответствующий ему календарный месяц может содержать 29 или 30 суток. Календарный лунный год состоит из 12 месяцев. Соответствующая ему продолжительность астрономического лунного года равна
12 * 29,53059 = 354,36706 суток.
Можно поэтому принять, что календарный лунный год состоит из 354 суток: из шести «полных» месяцев по 30 суток и шести «пустых» по 29 суток, так как 6*30 + 6*29 = 354. А чтобы начало календарного месяца как можно точнее совпадало с новолунием, эти месяцы должны чередоваться; например, все нечетные месяцы могут содержать по 30, а четные — по 29 дней.
Однако промежуток времени в 12 синодических месяцев на 0,36706 суток больше календарного лунного года в 354 суток. За три таких года эта ошибка составит уже 3 *0,36706 = 1,10118 суток. Следовательно, в четвертом от начала счета году новолуния будут уже приходиться не на первые, а на вторые числа месяцев, через восемь лет—на четвертые и т. д. А это значит, что календарь время от времени следует исправлять: приблизительно через каждые три года делать вставку в один день, т. е. вместо 354 дней считать в году 355 дней. Год в 354 дня принято называть простым, год в 355 дней — продолженным или високосным (о происхождении этого названия будет рассказано ниже).
Следовательно, задача построения лунного календаря сводится к следующему: найти такой порядок чередования простых и високосных лунных годов, при котором начала календарных месяцев не отодвигались бы заметно от новолуния. Ее решение начинается с поиска такого целого числа (составляющего цикл) лунных лет, за которое набегает какое-то целое (почти целое!) число вставных дней. Это найденное число вставных дней и распределяется между отдельными годами внутри цикла.
Конечно, если продолжительность астрономического лунного года равна 354,36706 суток, а простого календарного года — 354 дня, то на протяжений 100 000 лунных лет набегает 36 706 вставных дней. Но это слишком большой промежуток времени, располагать в котором вставные дни очень трудно. Поэтому необходимо дробь
К = 36 706/100 000 = 18 353/50 000
представить другой дробью, К = m/n , у которой числитель m и знаменатель n будут меньшими, но сама дробь по своей величине будет близка к исходной. Такие дроби называют подходящими.
Для отыскания подходящих дробей производят последовательное деление числителя и знаменателя дроби на числитель, в результате чего правильная дробь представляется в виде цепной дроби. Отбрасывая остатки после деления на первом, втором и т. д. этапах, получают последовательность подходящих дробей. При этом точное значение цепной дроби всегда находится между двумя подходящими дробями, причем ближе к последующей, чем к предыдущей. Разложение дробной части лунного года в цепную дробь записывается так:
Как мы увидим далее, при построении лунных календарей были использованы подходящие дроби 3/8 и 11/30. В первом случае («турецкий цикл») на протяжении восьми лет делается вставка из трех дней. Во втором («арабский цикл») на протяжении 30 лет имеется 11 високосных лет. Погрешность цикла 0,0118 суток говорит о том, что за каждые 30 лет (один цикл) новолуния по отношению к первому числу календарных месяцев передвигаются на 0,0118 суток вперед, а это дает сдвиг в один день примерно за 2500 лет.